P2680 运输计划

发表于

闲扯

我发现自己的思路出现了严重的偏差。。。

想了两个假算法，都是代码打完发现有问题。。

题面

题面

Solution

本题要解决的问题：将一条边的权值变为 $0$ ，使得所有路径长度的最大值最小。

我们考虑当 $x$ 满足条件时，所有比 $x$ 的也一定满足，即答案具有单调性，所以我们可以用二分答案。

现在我们将求解问题变为了判定性问题，理论上来说实现难度是要小一些的。

考虑怎么判断可行。

对于当前的判定值 $x$ ，所有长度大于 $x$ 的路径必须被处理掉。

因为只能清空一条边，所以我们选择的边一定属于所有这样的路径。

根据贪心的思想，我们取所有的满足条件的边中长度最大的一条。

如果最长路径的长度减去我们所选边的长度依旧大于 $x$ ，说明 $x$ 不合法，否则一定可以确定合法。

现在的问题就只剩下怎么判定一条边是否属于所有的长度大于 $x$ 的路径。

朴素的想法是对于每一个长度大于 $x$ 的路径，我们将路径上的所有边标记一次。

最后被标记了 $m$ 次的（ $m$ 为这种路径的个数）就是我们要找的边。

考虑优化。

对于树上路径的区间加，可以考虑差分。

$u,v$ 两点间的所有边的计数加 $1$ ，可以转化为 $c_u+1,c_v+1,c_{lca}-2$ 。其中 $c$ 为差分数组。

这里我们需要要到一个小技巧：将每一条边寄存在深度更深的那一个点上。可以证明除了根节点外，每个点刚好代表了一条边。

这样我们就将所有的问题都解决了，可以轻松 $A$ 题了

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il print(T x){
	if(x/10) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
it max(int x,int y){return x>y?x:y;}
const int MAXN = 3e5+5;
int n,m,u,v,t,head[MAXN],num_edge,dis[MAXN],l,r,c[MAXN],sum[MAXN],mx,num;
struct Edge{
	int next,to,dis;
	Edge(){}
	Edge(int next,int to,int dis):next(next),to(to),dis(dis){}
}edge[MAXN<<1];
il add_edge(int u,int v,int dis){
	edge[++num_edge]=Edge(head[u],v,dis),head[u]=num_edge;
	edge[++num_edge]=Edge(head[v],u,dis),head[v]=num_edge;
}
struct Node{
	int u,v,lca,len;
}node[MAXN];
int d[MAXN],f[MAXN],sz[MAXN],top[MAXN],son[MAXN],lca;
il DFS1(int u,int fa){
	f[u]=fa,d[u]=d[fa]+1,sz[u]=1;
	for(ri i=head[u];i;i=edge[i].next){
		if(edge[i].to==fa) continue;
		dis[edge[i].to]=dis[u]+edge[i].dis;
		DFS1(edge[i].to,u),sz[u]+=sz[edge[i].to];
		if(sz[edge[i].to]>sz[son[u]]) son[u]=edge[i].to;
	}
}
il DFS2(int u,int t){
	top[u]=t;
	if(!son[u]) return ;
	DFS2(son[u],t);
	for(ri i=head[u];i;i=edge[i].next){
		if(edge[i].to==f[u]||edge[i].to==son[u]) continue;
		DFS2(edge[i].to,edge[i].to);
	}
}
it LCA(int u,int v){
	while(top[u]!=top[v]){
		if(d[top[u]]<d[top[v]]) swap(u,v);
		u=f[top[u]];
	}
	return d[u]<d[v]?u:v;
}
il DFS(int u){
	sum[u]=c[u];
	for(ri i=head[u];i;i=edge[i].next){
		if(edge[i].to==f[u]) continue;
		DFS(edge[i].to),sum[u]+=sum[edge[i].to];
		if(sum[edge[i].to]>=num) mx=max(mx,edge[i].dis);
	}
}
inl bool check(int lim){
	ri mx_len=0;mx=0,num=0,del(c,0);
	for(ri i=1;i<=m;++i){
		if(node[i].len<=lim) continue;
		c[node[i].u]++,c[node[i].v]++,c[node[i].lca]-=2;
		num++,mx_len=max(mx_len,node[i].len);
	}
	DFS(1);
	if(mx_len-mx<=lim) return true;
	return false;
}
int main()
{
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(m);
	for(ri i=1;i<n;++i) read(u),read(v),read(t),add_edge(u,v,t);
	DFS1(1,0),DFS2(1,1);
	for(ri i=1;i<=m;++i){
		read(u),read(v),lca=LCA(u,v);
		node[i].len=dis[u]+dis[v]-2*dis[lca];
		r=max(r,node[i].len),node[i].u=u,node[i].v=v,node[i].lca=lca;
	}
	while(l<r){
		if(check(mid)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	print(l);
	return 0;
}

总结

对于最大值最小，最小值最大这类问题要敏感一些，可以往二分这方面想。